שיווי משקל נאש. תורת המשחקים לכלכלנים (ג'ון נאש)

2024 מְחַבֵּר: Henry Conors | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-02-12 07:24

בשנות ה-30, ג'ון פון נוימן ואוסקר מורגנשטרן הפכו למייסדי ענף חדש ומעניין במתמטיקה שנקרא "תורת המשחקים". בשנות החמישים התעניין המתמטיקאי הצעיר ג'ון נאש בכיוון זה. תורת שיווי המשקל הפכה לנושא עבודת הדוקטורט שלו, אותה כתב בגיל 21. כך נולדה אסטרטגיית משחק חדשה בשם "נאש שיווי משקל", שזכתה בפרס נובל שנים רבות לאחר מכן - ב-1994.

הפער הארוך בין כתיבת עבודת גמר להכרה כללית הפך למבחן למתמטיקאי. גאונות ללא הכרה גרמה להפרעות נפשיות חמורות, אבל ג'ון נאש הצליח לפתור בעיה זו הודות למוח ההגיוני המעולה שלו. תיאוריית נאש שיווי המשקל שלו זכתה בפרס נובל וחייו צולמו בראש יפה.

בקצרה על תורת המשחקים

מכיוון שתיאוריית שיווי המשקל של נאש מסבירה את התנהגותם של אנשים בתנאים של אינטראקציה, כדאי לשקול את המושגים הבסיסיים של תורת המשחקים.

תורת המשחקים חוקרת את התנהגות המשתתפים (סוכנים) במונחים של אינטראקציה זה עם זה כמו משחק, כאשר התוצאה תלויה בהחלטה ובהתנהגות של מספר אנשים.המשתתף מקבל החלטות על סמך התחזיות שלו לגבי התנהגותם של אחרים, מה שנקרא אסטרטגיית המשחק.

ישנה גם אסטרטגיה דומיננטית שבה המשתתף מקבל את התוצאה הטובה ביותר עבור כל התנהגות של משתתפים אחרים. זוהי אסטרטגיית הניצחון הטובה ביותר של השחקן.

דילמת האסיר ופריצת דרך מדעית

דילמת האסיר היא מקרה של משחק שבו המשתתפים נאלצים לקבל החלטות רציונליות, תוך השגת מטרה משותפת לנוכח קונפליקט של חלופות. השאלה היא באיזו מהאפשרויות הללו הוא יבחר, תוך מימוש עניין אישי וכללי, כמו גם חוסר האפשרות לקבל את שתיהן. נראה שהשחקנים כלואים בסביבת משחק קשה, מה שלפעמים גורם להם לחשוב בצורה מאוד פרודוקטיבית.

דילמה זו נחקרה על ידי המתמטיקאי האמריקאי ג'ון נאש. האיזון שמצא היה מהפכני בדרכו שלו. מחשבה חדשה זו השפיעה בצורה מבריקה במיוחד על דעתם של כלכלנים לגבי האופן שבו שחקנים בשוק בוחרים, תוך התחשבות באינטרסים של אחרים, תוך אינטראקציה הדוקה והצטלבות של אינטרסים.

מומלץ ללמוד את תורת המשחקים באמצעות דוגמאות קונקרטיות, מכיוון שהדיסציפלינה המתמטית הזו עצמה אינה תיאורטית באופן יבש.

דוגמה לדילמה של האסיר

לדוגמה, שני אנשים ביצעו שוד, נפלו לידי המשטרה ונחקרים בתאים נפרדים. במקביל, השוטרים מציעים לכל משתתף תנאים נוחים שבהם הוא ישוחרר אם יעיד נגד בת זוגו. כל אחד מלפושעים יש את מערכת האסטרטגיות הבאה שהוא ישקול:

1. שניהם מעידים בו-זמנית ומקבלים 2.5 שנות מאסר.
2. שניהם שותקים בו-זמנית ומקבלים שנה כל אחד, כי במקרה זה בסיס הראיות לאשמתם יהיה קטן.
3. אחד מעיד ומשתחרר, בעוד השני שותק ומקבל 5 שנות מאסר.

ברור שתוצאות התיק תלויות בהחלטת שני המשתתפים, אבל הם לא יכולים להסכים, כי הם יושבים בתאים שונים. גם ניגוד האינטרסים האישיים שלהם במאבק למען אינטרס משותף נראה בבירור. לכל אחד מהאסירים יש שתי אפשרויות פעולה ו-4 אפשרויות לתוצאות.

שרשרת של מסקנות לוגיות

אז, עבריין A שוקל את האפשרויות הבאות:

1. אני שותק ובן זוגי שותק - שנינו נקבל שנת מאסר אחת.
2. אני מוסר את בן זוגי והוא מסגיר אותי - שנינו מקבלים 2.5 שנות מאסר.
3. אני שותק, ובן זוגי בוגד בי - אני אקבל 5 שנות מאסר, והוא יהיה חופשי.
4. אני מוסר את בן הזוג שלי, אבל הוא שותק - אני מקבל חופש, והוא מקבל 5 שנות מאסר.

בואו ניתן מטריצה של פתרונות אפשריים ותוצאות לבהירות.

טבלת התוצאות האפשריות של דילמת האסיר.

השאלה היא, במה כל מתמודד יבחר?

"שתוק, אתה לא יכול לדבר" או "אתה לא יכול לשתוק, אתה לא יכול לדבר"

כדי להבין את הבחירה של המשתתף, עליך לעבור את שרשרת המחשבות שלו. בעקבות נימוקיו של עבריין א': אם אני שותק ובן זוגי ישתוק, נקבל תקופת זמן מינימלית (שנה), אבל אניאני לא יודע איך הוא יתנהג. אם הוא יעיד נגדי אז עדיף לי להעיד אחרת אוכל לשבת 5 שנים. אני מעדיף לשבת 2.5 שנים מאשר 5 שנים. אם הוא ישתוק, אז על אחת כמה וכמה שאני צריך להעיד, כי ככה אקבל את החופש שלי. משתתף B.

לא קשה לראות שהאסטרטגיה השלטת של כל אחד מהמבצעים היא להעיד. הנקודה האופטימלית במשחק הזה מגיעה כאשר שני הפושעים מעידים ומקבלים את ה"פרס" שלהם - 2.5 שנות מאסר. תורת המשחקים של נאש קוראת לזה שיווי משקל.

פתרון נאש אופטימלי לא אופטימלי

הטבע המהפכני של ההשקפה הנשיאנית הוא ששיווי משקל כזה אינו אופטימלי כאשר לוקחים בחשבון את המשתתף הבודד ואת האינטרס העצמי שלו. אחרי הכל, האפשרות הטובה ביותר היא לשתוק ולצאת לחופשי.

שיווי משקל נאש הוא נקודת התכנסות של אינטרסים, שבה כל משתתף בוחר את האפשרות האופטימלית עבורו רק אם משתתפים אחרים בוחרים באסטרטגיה מסוימת.

בהתחשב באפשרות כאשר שני הפושעים שותקים ומקבלים שנה אחת בלבד, אנו יכולים לקרוא לזה אופציה פארטו-אופטימלית. עם זאת, זה אפשרי רק אם הפושעים יכלו להסכים מראש. אבל גם זה לא יבטיח תוצאה זו, שכן הפיתוי לסגת מההסכם ולהימנע מעונש הוא גדול. חוסר האמון המוחלט אחד בשני והסכנה לקבל 5 שנים לאלץ לבחור באפשרות בהכרה. חשבו על מה שהמשתתפים ידבקו בואופציה עם שתיקה, משחק בהופעה, היא פשוט לא הגיונית. ניתן להסיק מסקנה כזו אם נלמד את שיווי המשקל של נאש. דוגמאות רק מוכיחות שאתה צודק.

אנוכי או רציונלי

The Nash Equilibrium Theory הניבה מסקנות מדהימות שהפריכו את העקרונות שהיו קיימים קודם לכן. לדוגמה, אדם סמית' ראה בהתנהגות של כל אחד מהמשתתפים כאנוכית לחלוטין, מה שהביא את המערכת לאיזון. תיאוריה זו כונתה "היד הבלתי נראית של השוק."

ג'ון נאש ראה שאם כל המשתתפים פועלים למען האינטרסים שלהם, זה לעולם לא יוביל לתוצאה קבוצתית אופטימלית. בהתחשב בכך שחשיבה רציונלית טבועה בכל משתתף, הבחירה שמציעה אסטרטגיית שיווי המשקל של נאש היא סבירה יותר.

ניסוי גברי בלבד

דוגמה מצוינת היא משחק הפרדוקס הבלונדי, שאמנם נראה לא במקום, אבל הוא המחשה ברורה לאופן שבו פועלת תורת המשחקים של נאש.

במשחק הזה אתה צריך לדמיין שחברה של בחורים חופשיים הגיעה לבר. בקרבת מקום יש חברה של בנות, שאחת מהן עדיפה על אחרות, למשל בלונדינית. איך גברים פועלים כדי להשיג את החברה הכי טובה לעצמם?

אז, הנימוק של החבר'ה: אם כולם יתחילו להכיר את הבלונדינית, אז, סביר להניח, אף אחד לא יקבל את זה, אז החברים שלה לא ירצו להכיר. אף אחד לא רוצה להיות הנפילה השנייה. אבל אם הבנים בוחרים להימנעבלונדינית, אז ההסתברות לכל אחד מהבחורים למצוא חברה טובה בין הבנות היא גבוהה.

מצב שיווי המשקל של נאש אינו אופטימלי עבור בחורים, כי, בחיפוש אחר האינטרסים האנוכיים של עצמם, כולם יבחרו בבלונדינית. ניתן לראות שהמרדף אחר אינטרסים אנוכיים בלבד יהיה בגדר קריסה של אינטרסים קבוצתיים. שיווי משקל נאש יגרום לכך שכל בחור פועל לפי האינטרסים שלו, שנמצאים במגע עם האינטרסים של כל הקבוצה. זו לא האפשרות הטובה ביותר עבור כולם באופן אישי, אלא הטובה ביותר עבור כולם, בהתבסס על האסטרטגיה הכוללת להצלחה.

כל החיים שלנו הם משחק

קבלת החלטות בעולם האמיתי דומה מאוד למשחק שבו אתה מצפה להתנהגויות רציונליות מסוימות גם ממשתתפים אחרים. בעסקים, בעבודה, בצוות, בחברה ואפילו ביחסים עם המין השני. מעסקאות גדולות ועד מצבי חיים רגילים, הכל מציית לחוק זה או אחר.

כמובן, מצבי המשחק לעיל עם פושעים ובר הם רק איורים מצוינים שמדגימים את שיווי המשקל של נאש. דוגמאות לדילמות כאלה עולות לעתים קרובות בשוק האמיתי, וזה עובד במיוחד במקרים שבהם שני בעלי מונופולים שולטים בשוק.

אסטרטגיות משולבות

לעיתים קרובות אנחנו מעורבים לא במשחק אחד, אלא במספר משחקים בו-זמנית. בחירה באחת מהאפשרויות במשחק אחד, מונחית על ידי אסטרטגיה רציונלית, אבל אתה מסיים במשחק אחר. לאחר כמה החלטות רציונליות, אתה עשוי לגלות שהתוצאה שלך אינה לרוחך. מהלקחת?

בואו נשקול שני סוגים של אסטרטגיה:

• אסטרטגיה טהורה היא התנהגותו של המשתתף, הנובעת מחשיבה על ההתנהגות האפשרית של משתתפים אחרים.
• אסטרטגיה מעורבת או אסטרטגיה אקראית היא החלפה של אסטרטגיות טהורות באקראי או בחירה של אסטרטגיה טהורה עם הסתברות מסוימת. אסטרטגיה זו נקראת גם אקראית.

בהתחשב בהתנהגות זו, אנו מקבלים מבט חדש על שיווי המשקל של נאש. אם קודם לכן נאמר שהשחקן בוחר אסטרטגיה פעם אחת, אז אפשר לדמיין התנהגות אחרת. ניתן להניח שהשחקנים בוחרים באסטרטגיה באופן אקראי עם הסתברות מסוימת. משחקים שלא יכולים למצוא שיווי משקל של נאש באסטרטגיות טהורות תמיד יש להם אסטרטגיות מעורבות.

שיווי משקל נאש באסטרטגיות מעורבות נקרא שיווי משקל מעורב. זהו שיווי משקל שבו כל משתתף בוחר את התדירות האופטימלית לבחירת האסטרטגיות שלו, בתנאי שמשתתפים אחרים יבחרו באסטרטגיות שלהם בתדירות נתונה.

עונשין ואסטרטגיה מעורבת

דוגמה לאסטרטגיה מעורבת ניתן למצוא במשחק כדורגל. ההמחשה הטובה ביותר של אסטרטגיה מעורבת היא אולי דו-קרב פנדלים. אז יש לנו שוער שיכול לקפוץ רק לפינה אחת, ושחקן שייקח את הפנדל.

אז, אם בפעם הראשונה שהשחקן בוחר באסטרטגיה לירות לפינה השמאלית, וגם השוער נופל לפינה הזו ותופס את הכדור, איך דברים יכולים להתפתח בפעם השנייה? אם השחקןיפגע בפינה הנגדית, סביר להניח שזה ברור מדי, אבל פגיעה באותה פינה היא לא פחות ברורה. לכן, גם לשוער וגם לבועט אין ברירה אלא להסתמך על בחירה אקראית.

לפיכך, על ידי בחירה אקראית לסירוגין עם אסטרטגיה טהורה מסוימת, השחקן והשוער מנסים להשיג את התוצאה המקסימלית.