האובייקט הגיאומטרי, שנקרא מאוחר יותר "בקבוק קליין", תואר לראשונה ב-1882 על ידי המתמטיקאי הגרמני פליקס קליין. מה הוא מייצג? האובייקט הזה (או ליתר דיוק, משטח גיאומטרי או טופולוגי) פשוט לא יכול להתקיים בעולם התלת מימדי שלנו. לכל הדגמים המוצעים למכירה בחנויות מזכרות יש מראה שרק נותן מושג מעורפל מה זה בקבוק קליין.
לבהירות רבה יותר, זה מתואר כך: דמיינו בקבוק עם צוואר ארוך מאוד. ואז לעשות בו שני חורים נפשית: אחד בקיר, והשני בתחתית. לאחר מכן כופפו את הצוואר, הכניסו אותו לחור בקיר והוציאו אותו החוצה דרך החור בתחתית. האובייקט שיתקבל יהיה הקרנה של אובייקט חלל ארבעה ממדי, שהוא בקבוק קליין האמיתי, במרחב התלת מימדי שלנו.
תיאור בקבוק קליין בשפה של מונחים מתמטיים אונוסחאות לא יגידו כלום להדיוט. האם הגדרה כזו תספק אנשים רבים: בקבוק קליין הוא סעפת (או משטח) שאינה ניתנת לכיוון בעל מספר תכונות. אחרי המילה "מאפיינים" ניתן לבנות סדרה ארוכה המורכבת מפונקציות טריגונומטריות, מספרים ואותיות יווניות ולטיניות. אבל זה יכול רק לבלבל אדם לא מוכן שכבר השיג מושג מהי ההקרנה של בקבוק בחלל תלת מימדי.
עובדה מעניינת: השם "בקבוק קליין" ניתן לאובייקט זה, ככל הנראה, עקב טעות או טעות דפוס של המתרגם. העובדה היא שקליין בהגדרתו השתמש במילה Fläche, כלומר "משטח" בגרמנית. כאשר "נסעו" מגרמניה למדינות אחרות, מילה זו הוסבה לאות דומה Flasche (בקבוק). ואז המונח חזר לארץ המוצא בצורה חדשה ושונתה, ונשאר כך לנצח.
עבור אנשי תרבות רבים (בעיקר סופרי מדע בדיוני), המונח "בקבוק קליין" התברר כאטרקטיבי. השימוש בו כתכונה, ולפעמים הדמות הראשית, הפך לסימן של בדיה "אינטלקטואלית". כזה, למשל, הוא הסיפור "The Last Illusionist", שכתב ברוס אליוט. בסיפור, עוזרו של קוסם פוגע בפטרונו, שעשה טריקים עם בקבוק קליין בארבעה ממדים. אמן האשליות שטיפס לבקבוק נשאר חצי שקוע בו. לדברי המחבר, לא ניתן לשבור את הבקבוק הזה מבלי לפגוע בתוכן. האם זה באמת כך - לא יכול לומראף אחד. לפחות, מתמטיקאים, שאולי יכלו לענות על שאלה זו, לא נדהמו מכך, למדע זה לא רלוונטי.
לפעמים בקבוקי קליין שנעשו במיוחד ממולאים ביין למטרות קידום מכירות. נכון, טכנית קשה לייצר בקבוק זכוכית כזה, זה דורש מפוח זכוכית ברמה גבוהה במיוחד. לכן, יש לו עלות גבוהה למדי והוא משמש לעתים רחוקות. ופיתוח הטכנולוגיה וייצור בקבוקים כאלה על זרם אינו הגיוני, כי לשם כך יהיה צורך לחשב את שיטת מילוי הבקבוק בנוזל (גם כאן יש קשיים). ותחושת יוצא הדופן והחידוש תוחלף במהירות בחוסר הנוחות של מזיגת יין מבקבוק כזה לכוסות.
