הפרדוקס של אכילס והצב, שהועלה על ידי הפילוסוף היווני הקדום זינו, מתריס נגד השכל הישר. היא טוענת שהבחור האתלטי אכילס לעולם לא ישיג את הצב המגושם אם יתחיל את תנועתו לפניו. אז מה זה: סופיות (שגיאה מכוונת בהוכחה) או פרדוקס (אמירה שיש לה הסבר הגיוני)? בואו ננסה להבין את המאמר הזה.
מי זה זנון?
זנו נולד בסביבות 488 לפני הספירה באלאה (וליה של היום), איטליה. הוא חי מספר שנים באתונה, שם הקדיש את כל מרצו להסבר ולפיתוח המערכת הפילוסופית של פרמנידס. מכתבי אפלטון ידוע שזנון היה צעיר מפרמנידס ב-25 שנה וכתב הגנה על המערכת הפילוסופית שלו בגיל צעיר מאוד. אם כי מעט ניצל מכתביו. רובנו יודעים עליו רק מכתביו של אריסטו, וגם שהפילוסוף הזה, זינו מאלאה, מפורסם בפילוסופיה שלו.נימוק.
ספר הפרדוקסים
במאה החמישית לפני הספירה עסק הפילוסוף היווני זינו בתופעות של תנועה, מרחב וזמן. איך אנשים, חיות וחפצים יכולים לנוע הוא הבסיס של פרדוקס אכילס-צב. המתמטיקאי והפילוסוף כתב ארבעה פרדוקסים או "פרדוקסים של תנועה" שנכללו בספר שכתב זינו לפני 2500 שנה. הם תמכו בעמדתו של פרמנידס לפיה תנועה בלתי אפשרית. נשקול את הפרדוקס המפורסם ביותר - על אכילס והצב.
הסיפור הוא כזה: אכילס והצב החליטו להתחרות בריצה. כדי להפוך את התחרות למעניינת יותר, הצב הקדים את אכילס במרחק מסוים, מכיוון שהאחרון מהיר בהרבה מהצב. הפרדוקס היה שכל עוד תיאורטית הריצה נמשכת, אכילס לעולם לא יעקוף את הצב.
בגרסה אחת של הפרדוקס, זינו קובע שאין דבר כזה תנועה. ישנן וריאציות רבות, אריסטו מפרט ארבע מהן, אם כי ניתן לקרוא להן וריאציות על שני הפרדוקסים של התנועה. אחד נוגע בזמן והשני נוגע בחלל.
מהפיזיקה של אריסטו
מהספר VI.9 של הפיזיקה של אריסטו אתה יכול ללמוד ש
במרוץ, הרץ המהיר ביותר לעולם לא יכול לעקוף את האיטי ביותר, שכן הרודף חייב להגיע תחילה לנקודה שבה התחיל המרדף.
אז אחרי שאכילס רץ לפרק זמן בלתי מוגבל, הוא יגיע לנקודהשממנו התחיל הצב. אבל בדיוק באותו זמן, הצב יתקדם, יגיע לנקודה הבאה בדרכו, כך שאכילס עדיין צריך להדביק את הצב. שוב הוא מתקדם, מתקרב די מהר למה שהצב נהג לכבוש, שוב "מגלה" שהצב זחל מעט קדימה.
תהליך זה חוזר על עצמו כל עוד אתה רוצה לחזור עליו. מכיוון שהמידות הן מבנה אנושי ולכן אינסופיות, לעולם לא נגיע לנקודה שבה אכילס מביס את הצב. זה בדיוק הפרדוקס של זינו לגבי אכילס והצב. בעקבות נימוקים לוגיים, אכילס לעולם לא יוכל להדביק את הצב. בפועל, כמובן, האצן אכילס ירוץ על פני הצב האיטי.
משמעות הפרדוקס
התיאור מורכב יותר מהפרדוקס האמיתי. לכן אנשים רבים אומרים: "אני לא מבין את הפרדוקס של אכילס והצב". קשה לתפוס עם המוח מה בעצם לא מובן מאליו, אבל בדיוק ההיפך ברור. הכל כלול בהסבר של הבעיה עצמה. זינו מוכיח שהחלל מתחלק, ומכיוון שהוא מתחלק, לא ניתן להגיע לנקודה מסוימת במרחב כאשר אחר התרחק מנקודה זו.
זינו, בהינתן התנאים הללו, מוכיח שאכילס לא יכול להדביק את הצב, כי ניתן לחלק את החלל לאין שיעור לחלקים קטנים יותר, שבהם הצב תמיד יהיה חלק מהחלל שלפניו. כמו כן יש לציין כי בזמן שהזמן הוא תנועה, כמוזה מה שעשה אריסטו, שני הרצים ינועו ללא הגבלת זמן, ובכך יהיו נייחים. מסתבר שזנון צודק!
הפתרון לפרדוקס של אכילס והצב
פרדוקס מראה את הפער בין האופן שבו אנו חושבים על העולם לבין איך העולם בפועל. יוסף מזור, פרופסור אמריטוס למתמטיקה ומחבר הספרים "סמלים נאורים", מתאר את הפרדוקס כ"טריק" שגורם לך לחשוב על מרחב, זמן ותנועה בצורה לא נכונה.
ואז מגיעה המשימה לקבוע מה בדיוק לא בסדר בחשיבה שלנו. תנועה אפשרית, כמובן, רץ אנושי מהיר יכול לברוח מצב במירוץ.
הפרדוקס של אכילס והצב במונחים של מתמטיקה הוא כדלקמן:
- בהנחה שהצב 100 מטר קדימה, כאשר אכילס הלך 100 מטר, הצב יהיה 10 מטר לפניו.
- כשהוא יגיע ל-10 מטרים האלה, הצב יהיה מטר אחד קדימה.
- כשיגיע למטר אחד, הצב יהיה 0.1 מטר קדימה.
- כאשר הוא יגיע ל-0.1 מטר, הצב יקדים 0.01 מטר.
אז באותו תהליך, אכילס יספוג תבוסות אינספור. כמובן, היום אנו יודעים שהסכום של 100 + 10 + 1 + 0, 1 + 0, 001 + …=111, 111 … הוא המספר המדויק וקובע מתי אכילס מכה את הצב.
עד אינסוף, לא מעבר ל
הבלבול שנוצר בדוגמה של זינו היה בעיקר ממספר אינסופי של נקודותתצפיות ותנוחות שאכילס נאלץ להגיע אליהן לראשונה כשהצב נע בהתמדה. לפיכך, זה יהיה כמעט בלתי אפשרי עבור אכילס לעקוף את הצב, שלא לדבר על לעקוף אותו.
ראשית, המרחק המרחבי בין אכילס לצב הולך וקטן. אבל הזמן הדרוש לכיסוי המרחק יורד באופן פרופורציונלי. הבעיה שנוצרה של זינו מובילה להרחבת נקודות התנועה לאינסוף. אבל עדיין לא היה מושג מתמטי.
כפי שאתה יודע, רק בסוף המאה ה-17, ניתן היה למצוא פתרון מוצדק מתמטית לבעיה זו בחשבון. ניוטון ולייבניץ התקרבו אל האינסוף באמצעות גישות מתמטיות פורמליות.
המתמטיקאי, הלוגיקן והפילוסוף האנגלי ברטרנד ראסל אמר כי "…הטיעונים של זינו בצורה זו או אחרת סיפקו את הבסיס כמעט לכל תיאוריות החלל והאינסוף שהוצעו בזמננו עד ימינו…"
האם זה סופיות או פרדוקס?
מנקודת מבט פילוסופית, אכילס והצב הם פרדוקס. אין סתירות ושגיאות בנימוקים. הכל מבוסס על הגדרת מטרות. לאכילס הייתה מטרה לא להדביק את הפער ולעקוף, אלא להדביק את הפער. הצבת יעדים - להתעדכן. זה לעולם לא יאפשר לאכילס מהיר הרגליים לעקוף או לעקוף את הצב. במקרה זה, לא הפיזיקה עם החוקים שלה ולא המתמטיקה יכולים לעזור לאכילס לעקוף את היצור האיטי הזה.
תודות לפרדוקס הפילוסופי של ימי הביניים הזה,אשר זינו יצר, אנו יכולים להסיק: אתה צריך להגדיר נכון את המטרה וללכת לקראתה. במאמץ להדביק מישהו, תמיד תישאר שני, וגם אז במקרה הטוב. לדעת מה המטרה שאדם מציב, אפשר לומר בביטחון אם הוא ישיג אותה או יבזבז את זמנו, משאביו ומרצו.
בחיים האמיתיים, ישנן דוגמאות רבות להגדרת יעדים שגויים. והפרדוקס של אכילס והצב יהיה רלוונטי כל עוד האנושות קיימת.
