הממוצע המשוקלל - מה זה וכיצד לחשב אותו?

2024 מְחַבֵּר: Henry Conors | [email protected]. שונה לאחרונה: 2024-02-12 07:18

בתהליך לימוד המתמטיקה, התלמידים מתוודעים למושג הממוצע האריתמטי. בעתיד, בסטטיסטיקה ובכמה מדעים אחרים, התלמידים יתמודדו גם עם חישוב ממוצעים אחרים. מה הם יכולים להיות ובמה הם שונים זה מזה?

ערכים ממוצעים: משמעות והבדלים

אינדיקטורים לא תמיד מדויקים נותנים הבנה של המצב. על מנת להעריך מצב זה או אחר, לעיתים יש צורך לנתח מספר עצום של דמויות. ואז ממוצעים באים לעזרה. הם מאפשרים לך להעריך את המצב באופן כללי.

מאז ימי בית הספר, מבוגרים רבים זוכרים את קיומו של הממוצע האריתמטי. קל מאוד לחשב - הסכום של רצף של n איברים מתחלק ב-n. כלומר, אם אתה צריך לחשב את הממוצע האריתמטי ברצף הערכים 27, 22, 34 ו-37, אז אתה צריך לפתור את הביטוי (27 + 22 + 34 + 37) / 4, שכן 4 ערכים בשימוש בחישובים. במקרה זה, הערך הרצוי יהיה שווה ל-30.

הממוצע הגיאומטרי נלמד לעתים קרובות כחלק מהקורס בבית הספר. החישוב של ערך זה מבוסס על חילוץ שורש המדרגה ה-n מהמוצרn-חברים. אם ניקח את אותם המספרים: 27, 22, 34 ו-37, התוצאה של החישובים תהיה 29, 4.

הממוצע ההרמוני בבית ספר מקיף הוא בדרך כלל לא נושא ללימוד. עם זאת, הוא משמש לעתים קרובות למדי. ערך זה הוא ההדדיות של הממוצע האריתמטי ומחושב כמנה של n - מספר הערכים והסכום 1/a₁+1/a₂ +…+1/a_{. אם ניקח שוב את אותה סדרת מספרים לחישוב, ההרמוניה תהיה 29, 6.}

ממוצע משוקלל: תכונות

עם זאת, לא ניתן להשתמש בכל הערכים שלעיל בכל מקום. לדוגמה, בסטטיסטיקה, כאשר מחשבים כמה ערכים ממוצעים, ה"משקל" של כל מספר המשמש בחישוב משחק תפקיד חשוב. התוצאות חושפניות ונכונות יותר מכיוון שהן לוקחות בחשבון מידע נוסף. קבוצת ערכים זו מכונה ביחד "ממוצע משוקלל". הם לא מועברים בבית הספר, אז כדאי להתעכב עליהם ביתר פירוט.

קודם כל, כדאי להסביר מה הכוונה ב"משקל" של ערך מסוים. הדרך הקלה ביותר להסביר זאת היא באמצעות דוגמה קונקרטית. טמפרטורת הגוף של כל מטופל נמדדת פעמיים ביום בבית החולים. מתוך 100 החולים במחלקות השונות בבית החולים, ל-44 מטופלים יהיו בעלי חום תקין - 36.6 מעלות. ל-30 נוספים יהיה ערך מוגבר - 37.2, 14 - 38, 7 - 38.5, 3 - 39, והשניים הנותרים - 40. ואם ניקח את הממוצע האריתמטי, אז הערך הזה באופן כללי עבור בית החולים יהיה מעל 38מעלות! אבל כמעט למחצית מהחולים יש חום תקין לחלוטין. וכאן יותר נכון יהיה להשתמש בממוצע המשוקלל, וה"משקל" של כל ערך יהיה מספר האנשים. במקרה זה, תוצאת החישוב תהיה 37.25 מעלות. ההבדל ברור.

במקרה של חישובי ממוצע משוקלל, ניתן לקחת את ה"משקל" כמספר המשלוחים, מספר האנשים שעובדים ביום נתון, באופן כללי, כל דבר שניתן למדוד ולהשפיע על התוצאה הסופית.

זנים

הממוצע המשוקלל מתאים לממוצע האריתמטי שנדון בתחילת המאמר. עם זאת, הערך הראשון, כפי שכבר הוזכר, לוקח בחשבון גם את המשקל של כל מספר המשמש בחישובים. בנוסף, ישנם גם ממוצעים משוקללים גיאומטריים והרמוניים.

יש וריאציה מעניינת נוספת בשימוש בסדרות של מספרים. זהו ממוצע נע משוקלל. על בסיסו מחושבות מגמות. בנוסף לערכים עצמם ומשקלם, משתמשים שם גם במחזוריות. וכאשר מחשבים את הערך הממוצע בנקודת זמן מסוימת, נלקחים בחשבון גם הערכים של תקופות זמן קודמות.

החישוב של כל הערכים האלו לא כל כך קשה, אבל בפועל משתמשים בדרך כלל רק בממוצע המשוקלל הרגיל.

שיטות חישוב

בעידן המחשוב אין צורך בחישוב ידני של הממוצע המשוקלל. עם זאת, זה יהיה שימושי לדעת את נוסחת החישוב כדי שתוכלבדוק ובמידת הצורך תקן את התוצאות שהתקבלו.

זה יהיה הכי קל לשקול את החישוב על דוגמה ספציפית.

משכורת (אלף רובל)	מספר עובדים (אנשים)
32	20
33	35
34	14
40	6

יש צורך לברר מהו השכר הממוצע במפעל זה, תוך התחשבות במספר העובדים המקבלים הכנסה כזו או אחרת.

לכן, הממוצע המשוקלל מחושב באמצעות הנוסחה הבאה:

x=(a₁w₁+a₂w ₂+…+a w)/(w₁+w ₂+…+w)

לדוגמה, החישוב יהיה כדלקמן:

x=(3220+3335+3414+406)/(20+35+14+6)=(640+1155+476+240)/75=33, 48

כמובן, זה לא קשה מדי לחשב את הממוצע המשוקלל באופן ידני. הנוסחה לחישוב ערך זה באחד מהיישומים הפופולריים ביותר עם נוסחאות - Excel - נראית כמו הפונקציה SUMPRODUCT (סדרת מספרים; סדרת משקלים) / SUM (סדרת משקלים).